Matemática discreta Ejemplos

$x + 5 z = - 6 + x$ , $3 x + 3 y = 10 + z$ , $x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 1

Resuelve $z$ en $x + 5 z = - 6 + x$ .

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 z = - 6 + x - x$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 1.1.2

Combina los términos opuestos en $- 6 + x - x$ .

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Paso 1.1.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$5 z = - 6 + 0$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 1.1.2.2

Suma $- 6$ y $0$ .

$5 z = - 6$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$5 z = - 6$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$5 z = - 6$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 1.2

Divide cada término en $5 z = - 6$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $5 z = - 6$ por $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{- 6}{5}$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 z}{5} = \frac{- 6}{5}$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{- 6}{5}$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$z = \frac{- 6}{5}$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$z = \frac{- 6}{5}$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z = - \frac{6}{5}$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$z = - \frac{6}{5}$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$z = - \frac{6}{5}$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$z = - \frac{6}{5}$

$3 x + 3 y = 10 + z$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $z$ por $- \frac{6}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $3 x + 3 y = 10 + z$ por $- \frac{6}{5}$ .

$3 x + 3 y = 10 - \frac{6}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 2.2

Simplifica $3 x + 3 y = 10 - \frac{6}{5}$ .

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Paso 2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$3 x + 3 y = 10 - \frac{6}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$3 x + 3 y = 10 - \frac{6}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica $10 - \frac{6}{5}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Para escribir $10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$3 x + 3 y = 10 \cdot \frac{5}{5} - \frac{6}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 2.2.2.1.2

Combina $10$ y $\frac{5}{5}$ .

$3 x + 3 y = \frac{10 \cdot 5}{5} - \frac{6}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 2.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x + 3 y = \frac{10 \cdot 5 - 6}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 2.2.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.1.4.1

Multiplica $10$ por $5$ .

$3 x + 3 y = \frac{50 - 6}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 2.2.2.1.4.2

Resta $6$ de $50$ .

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + 2 z = 5$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $x + 3 y + 2 z = 5$ por $- \frac{6}{5}$ .

$x + 3 y + 2 (- \frac{6}{5}) = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1

Multiplica $2 (- \frac{6}{5})$ .

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Paso 2.4.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x + 3 y - 2 (\frac{6}{5}) = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 2.4.1.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{6}{5}$ .

$x + 3 y + \frac{- 2 \cdot 6}{5} = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 2.4.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$x + 3 y + \frac{- 12}{5} = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y + \frac{- 12}{5} = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 2.4.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x + 3 y - \frac{12}{5} = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y - \frac{12}{5} = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y - \frac{12}{5} = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x + 3 y - \frac{12}{5} = 5$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x - \frac{12}{5} = 5 - 3 y$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 3.2

Suma $\frac{12}{5}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5 - 3 y + \frac{12}{5}$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 3.3

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$x = - 3 y + 5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{12}{5}$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 3.4

Combina $5$ y $\frac{5}{5}$ .

$x = - 3 y + \frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{12}{5}$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = - 3 y + \frac{5 \cdot 5 + 12}{5}$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$x = - 3 y + \frac{25 + 12}{5}$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 3.6.2

Suma $25$ y $12$ .

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$3 x + 3 y = \frac{44}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 3 y + \frac{37}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x + 3 y = \frac{44}{5}$ por $- 3 y + \frac{37}{5}$ .

$3 (- 3 y + \frac{37}{5}) + 3 y = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $3 (- 3 y + \frac{37}{5}) + 3 y$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- 3 y) + 3 (\frac{37}{5}) + 3 y = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$- 9 y + 3 (\frac{37}{5}) + 3 y = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica $3 (\frac{37}{5})$ .

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Paso 4.2.1.1.3.1

Combina $3$ y $\frac{37}{5}$ .

$- 9 y + \frac{3 \cdot 37}{5} + 3 y = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 4.2.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $37$ .

$- 9 y + \frac{111}{5} + 3 y = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$- 9 y + \frac{111}{5} + 3 y = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$- 9 y + \frac{111}{5} + 3 y = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 4.2.1.2

Suma $- 9 y$ y $3 y$ .

$- 6 y + \frac{111}{5} = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$- 6 y + \frac{111}{5} = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$- 6 y + \frac{111}{5} = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$- 6 y + \frac{111}{5} = \frac{44}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5

Resuelve $y$ en $- 6 y + \frac{111}{5} = \frac{44}{5}$ .

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $\frac{111}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 y = \frac{44}{5} - \frac{111}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 6 y = \frac{44 - 111}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.1.3

Resta $111$ de $44$ .

$- 6 y = \frac{- 67}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 6 y = - \frac{67}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$- 6 y = - \frac{67}{5}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 6 y = - \frac{67}{5}$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 6 y = - \frac{67}{5}$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{- \frac{67}{5}}{- 6}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{- \frac{67}{5}}{- 6}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{67}{5}}{- 6}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$y = \frac{- \frac{67}{5}}{- 6}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$y = \frac{- \frac{67}{5}}{- 6}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{67}{5} \cdot \frac{1}{- 6}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{67}{5} \cdot (- \frac{1}{6})$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- \frac{67}{5} (- \frac{1}{6})$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 (\frac{67}{5}) \cdot \frac{1}{6}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.2.3.3.2

Multiplica $\frac{67}{5}$ por $1$ .

$y = \frac{67}{5} \cdot \frac{1}{6}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.2.3.3.3

Multiplica $\frac{67}{5}$ por $\frac{1}{6}$ .

$y = \frac{67}{5 \cdot 6}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 5.2.3.3.4

Multiplica $5$ por $6$ .

$y = \frac{67}{30}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$x = - 3 y + \frac{37}{5}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{67}{30}$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 3 y + \frac{37}{5}$ por $\frac{67}{30}$ .

$x = - 3 (\frac{67}{30}) + \frac{37}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $- 3 (\frac{67}{30}) + \frac{37}{5}$ .

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Paso 6.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$x = 3 (- 1) (\frac{67}{30}) + \frac{37}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Factoriza $3$ de $30$ .

$x = 3 \cdot (- 1 \frac{67}{3 \cdot 10}) + \frac{37}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = 3 \cdot (- 1 \frac{67}{3 \cdot 10}) + \frac{37}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = - 1 (\frac{67}{10}) + \frac{37}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x = - 1 (\frac{67}{10}) + \frac{37}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe $- 1 (\frac{67}{10})$ como $- (\frac{67}{10})$ .

$x = - \frac{67}{10} + \frac{37}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x = - \frac{67}{10} + \frac{37}{5}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.2

Para escribir $\frac{37}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{67}{10} + \frac{37}{5} \cdot \frac{2}{2}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $10$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Multiplica $\frac{37}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{67}{10} + \frac{37 \cdot 2}{5 \cdot 2}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$x = - \frac{67}{10} + \frac{37 \cdot 2}{10}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x = - \frac{67}{10} + \frac{37 \cdot 2}{10}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 67 + 37 \cdot 2}{10}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica $37$ por $2$ .

$x = \frac{- 67 + 74}{10}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 6.2.1.5.2

Suma $- 67$ y $74$ .

$x = \frac{7}{10}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x = \frac{7}{10}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x = \frac{7}{10}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x = \frac{7}{10}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

$x = \frac{7}{10}$

$y = \frac{67}{30}$

$z = - \frac{6}{5}$

Paso 7

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{7}{10}, \frac{67}{30}, - \frac{6}{5})$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{7}{10}, \frac{67}{30}, - \frac{6}{5})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{7}{10}, y = \frac{67}{30}, z = - \frac{6}{5}$